平行なら錯角が等しいことの証明

「平行なら錯角が等しい」はよく知られた事実です。

確かに、帯状の紙を斜めに切って重ねればぴったり重なります。

しかしそれでは数学的な証明にはならない。

そこで、数学っぽく証明してみようと思ったのはだいぶ前のことでした。

ところがこれがなかなか上手くいかない。

そして悩みぬいた結果、１つのアイデアが浮かびました！

まず次の図を見てください。（画像をクリックすればでかくなります。）

平行な２直線ｌ、ｍがあり、直線ｎと点Ａ，Ｃで交わっているとします。

まず、点Ａを通り直線ｌに垂直な線ＡＢと、点Ｃを通り直線ｌに垂直な線ＤＣを引きます。
そして、∠ＣＡＤをaとします。

ここで、「平行である」の定義として、「AB=DCとなる」を導入します。

ようは、互いの距離が一定で、近づきも遠ざかりもしないということです。

では証明を始めます。

△BACと△DCAにおいて

∠ＢＡＤ＝90、∠ＣＡＤ＝aであるから、∠BAC＝90-a　・・・①

また、∠CAD＝a、∠ADC＝90であるから、∠DCA＝180-90-a＝90-a　・・・②

①②から、∠BAC＝∠DCA　・・・③

さらに、ｌとｍは平行であるから、AB=DC　・・・④

また、ACは共通　・・・⑤

③④⑤から、△BACと△DCAは２辺夾角相当である。

ゆえに、△BAC≡△DCA

したがって、∠BCA＝∠DAC

よって、錯角が等しいことが証明された。

僕の考えたことはこんな感じです。

しかし、はたして「平行ならAB=DCとなる」と言っていいのかが今度は問題です。

たしか平行の定義は「交わらない」だったはず・・・。

そこで、交わらない→距離が一定→AB=DCと考えたんですけどね。

でも何か怪しいような気もしないでもない・・・・・。

う～ん、これで正しいのか間違ってるのか、僕にはわかりません。